Diracova notace


Diracova notace (nebo také Diracova symbolika) je způsob zápisu vektorů běžně používaný v kvantové mechanice a kvantové teorii pole. Jde o zápis vektorů v Hilbertově prostoru, který zavedl P.A.M. Dirac. Symbolika je též známá jako braketová.

Obsah

Definice


Vektor a je označován symbolem \({\displaystyle |a\rangle }\). Protože jsme v prostoru se skalárním součinem \({\displaystyle (\cdot ,\cdot )}\), je dobře definován duální vektor \({\displaystyle \mathbf {a} ^{*}=(\mathbf {a} ,\cdot )}\) a značí se \({\displaystyle \langle a|}\). Vektory se nazývají ket-vektory a duální vektory bra-vektory. Jde o slovní hříčku, protože akce bra-vektoru \({\displaystyle \langle a|}\) na ket-vektor \({\displaystyle |b\rangle }\) je podle definice jejich skalární součin \({\displaystyle \langle a|b\rangle =(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )}\), což se anglicky říká bracket (závorka) (obvykle uvažujeme komplexní prostory a od skalárního součinu očekáváme linearitu v b a anti-linearitu v a). Pokud souřadnice vektoru \({\displaystyle |a\rangle }\) jsou v nějaké ortonormální bázi

\({\displaystyle |a\rangle ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},}\)

pak souřadnice vektoru \({\displaystyle \langle a|}\) v duální bázi jsou \({\displaystyle \langle a|=(a_{1}^{*},a_{2}^{*},\cdots ,a_{n}^{*})}\) (* označuje komplexní sdružení). Za daných předpokladů můžeme také říct, že \({\displaystyle \langle a|}\) je hermiteovsky sdružený vektor k \({\displaystyle |a\rangle }\).

Použití


Diracova symbolika je výhodná proto, že je možné zapsat operátor, jeho vlastní čísla a vektory pomocí jednoho symbolu, např.

\({\displaystyle {\hat {L}}|L\rangle =L|L\rangle }\),

kde \({\displaystyle {\hat {L}}}\) je operátor, \({\displaystyle L}\) představuje jeho vlastní číslo a \({\displaystyle |L\rangle }\) jeho vlastní vektor.


V případě diskrétních vlastních hodnot má předchozí vztah tvar

\({\displaystyle {\hat {L}}|L_{n}\rangle =L_{n}|L_{n}\rangle =L_{n}|n\rangle }\)


Pro hermiteovský operátor \({\displaystyle {\hat {A}}}\), tzn. \({\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}}\), pro který platí

\({\displaystyle {\hat {A}}|f\rangle =|g\rangle }\)

pak také platí

\({\displaystyle \langle g|={(|g\rangle )}^{+}={({\hat {A}}|f\rangle )}^{+}={(|f\rangle )}^{+}{\hat {A}}^{+}=\langle f|{\hat {A}}}\)

Hermiteovské operátory tedy působí na ket-vektory zleva a na bra-vektory zprava a tyto akce jsou stejné (ve smyslu ztotožnění vektorů a duálů).

Mnoho formulí z lineární algebry se dá v Diracově notaci zapsat velmi přehledně. Například operátor ortogonální projekce na prostor, který má ortonormální bázi \({\displaystyle |e_{1}\rangle ,\ldots ,|e_{k}\rangle }\) se dá napsat jako \({\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|}\) (součin ket-vektoru a bra-vektoru je lineární operátor).

Odkazy


Související články

Externí odkazy










Kategorie: Algebra | Lineární algebra | Kvantová fyzika




Poslední aktualizace: 14.06.2021 02:17:25 CEST

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-BY-SA-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.