Elipsoid


Elipsoid je prostorové těleso tvořené množinou všech bodů, jejichž poloha vůči zadanému bodu (středu) splňuje podmínky dané následující nerovnicí. Pokud bychom znak ≤ nahradili znakem =, rovnici by splňovaly právě body na povrchu elipsoidu.

\({\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}\leq 1}\)

kde a, b a c jsou konstantní kladná reálná čísla, určující délky poloos ve směru jednotlivých os. Uvedená definice předpokládá, že střed elipsoidu leží v počátku soustavy souřadnic a že osy elipsoidu jsou totožné s osami soustavy souřadnic. Pokud tomu tak není, je třeba nerovnici rozšířit o popis posunutí a otočení elipsoidu v prostoru.

Rovinnými řezy elipsoidu podél jednotlivých souřadnicových os jsou elipsy. Poloosy jednotlivých elips odpovídají poloosám elipsoidu.

Obsah

Klasifikace elipsoidů


Elipsoid, jehož dvě poloosy jsou shodné, se nazývá rotační elipsoid nebo také sferoid. Rotační elipsoid lze také chápat jako těleso vzniklé rotací elipsy kolem jedné z jejich os. Při rotaci kolem hlavní osy se jedná o rotační elipsoid protáhlý, při rotaci elipsy kolem vedlejší osy jde o zploštělý rotační elipsoid.

Elipsoid, který má shodné všechny tři poloosy, je koule.

Budeme-li předpokládat, že a ≥ b ≥ c, potom:

Vlastnosti


Objem elipsoidu je roven

\({\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc\,\!}\)

Speciální případy

Objem protáhlého rotačního elipsoidu je

\({\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi ab^{2}}\),

kde \({\displaystyle a>b}\).

Objem zploštělého rotačního elipsoidu je

\({\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi a^{2}b}\),

kde \({\displaystyle a>b}\).

S použitím číselné výstřednosti elipsy \({\displaystyle \varepsilon ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}\) lze povrch protáhlého rotačního elipsoidu zapsat ve tvaru

\({\displaystyle P=2\pi \left(b^{2}+ab{\frac {\operatorname {arcsin} \varepsilon }{\varepsilon }}\right)}\)

Pro zploštělý elipsoid pak dostaneme výraz

\({\displaystyle P=2\pi \left(a^{2}+{\frac {b^{2}}{2\varepsilon }}\ln {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)}\)

Zobecněný hyperelipsoid


Typicky pracujeme s elipsoidem v trojrozměrném prostoru. Uvedenou definici lze zobecnit pro n-rozměrný prostor následovně (i nadále platí, že osy elipsoidu jsou totožné s osami soustavy souřadnic):

\({\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{2} \over r_{i}^{2}}\leq 1}\)

kde \({\displaystyle r_{i}}\) je vektor poloos v jednotlivých rozměrech. Pro \({\displaystyle n>3}\) jde o abstraktní matematické těleso, které je obtížné vizualizovat. Pro \({\displaystyle n=2}\) jde o elipsurovině. Pro \({\displaystyle n=1}\) jde o úsečku na přímce.

Referenční elipsoid


Související informace naleznete také v článku Referenční elipsoid.

Polární souřadnice


Klasické kartézské souřadnice neposkytují dostatečně intuitivní představu o poloze bodu na povrchu elipsoidu. Pokud víme, že se pohybujeme po povrchu, stačí nám totiž pouhé dvě souřadnice místo tří. Při využití elipsoidu jako referenčního tělesa pro povrch planety se proto obvykle používají polární (úhlové) souřadnice: zeměpisná šířka a zeměpisná délka. V mnoha případech nám totiž stačí pracovat s body na povrchu referenčního elipsoidu a odchylky způsobené nadmořskou výškou nebo lokální odchylkou gravitačního potenciálu zanedbáváme. Pokud bychom je nechtěli zanedbávat, museli bychom soustavu polárních souřadnic doplnit o třetí rozměr, výšku.

Převod polárních souřadnic na kartézské

Poznámka: Při nasazení níže uvedeného postupu v praxi je třeba si ověřit, zda software, s jehož pomocí počítáme funkci tangens, očekává úhel ve stupních, nebo v radiánech. Stupně lze přepočítat na radiány vzorcem \({\displaystyle radi{\acute {a}}ny=stupn{\check {e}}{\pi \over 180}}\).

Poznámka: Použití funkce tg nelze doporučit, v blízkosti singularity vede k chybám. Místo toho lze vystačit s funkcemi sin, cos a návod by bylo vhodné upravit.

  1. Mějme bod \({\displaystyle A}\) daný délkou \({\displaystyle \lambda }\), šířkou \({\displaystyle \phi }\) a výškou \({\displaystyle v}\).
  2. \({\displaystyle y=x{\mbox{tg }}\lambda \,\!}\). Zvláštním případem je \({\displaystyle \|\lambda \|=90}\), kdy tangens není definován. Tehdy platí \({\displaystyle x=0\,\!}\).
  3. \({\displaystyle z=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}){\mbox{tg }}\phi }\), kde \({\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\) je poloměr \({\displaystyle \phi }\)-té rovnoběžky. Zvláštním případem je \({\displaystyle \|\phi \|=90}\), kdy tangens není definován. Tehdy platí \({\displaystyle x=y=0\,\!}\).
  4. Nyní již můžeme popsat polopřímku \({\displaystyle r}\), která vychází ze středu elipsoidu a prochází bodem \({\displaystyle A}\). Výše uvedené vztahy mezi \({\displaystyle x}\), \({\displaystyle y}\) a \({\displaystyle z}\) vycházejí z úhlů definujících polopřímku a platí proto pro každý její bod. Na polopřímce tedy leží i bod \({\displaystyle A_{1}=[1;{\mbox{tg }}\lambda ;({\sqrt {1+({\mbox{tg }}\lambda )^{2}}}){\mbox{tg }}\phi ]}\).
  5. Potřebujeme zjistit, v jaké vzdálenosti od středu elipsoidu leží bod, ve kterém polopřímka \({\displaystyle r}\) protíná jeho povrch. Nejdříve tedy musíme zjistit souřadnice tohoto průsečíku. Hledáme takový skalár \({\displaystyle k_{Z}}\), že bod \({\displaystyle A_{Z}=k_{Z}\cdot A_{1}}\) leží na povrchu elipsoidu, tj. splňuje rovnici \({\displaystyle {{X_{Z}^{2}+y_{Z}^{2}} \over {a^{2}}}+{{Z_{Z}^{2}} \over {b^{2}}}=1}\).
  6. Dosazením do této rovnice získáme \({\displaystyle k_{Z}={\sqrt {{A^{2}b^{2}} \over {b^{2}x_{1}^{2}+b^{2}y_{1}^{2}+a^{2}z_{1}^{2}}}}}\).
  7. Vzdálenost bodu \({\displaystyle A_{Z}}\) od středu elipsoidu \({\displaystyle \|A_{Z}\|={\sqrt {x_{Z}^{2}+y_{Z}^{2}+z_{Z}^{2}}}}\).
  8. Nyní hledáme takové \({\displaystyle k}\), že pro bod \({\displaystyle A}\), jehož souřadnice hledáme, platí \({\displaystyle A=k\cdot A_{1}}\). \({\displaystyle k}\) a \({\displaystyle k_{Z}}\) jsou ve stejném poměru, v jakém jsou vzdálenosti \({\displaystyle A}\) a \({\displaystyle A_{Z}}\) od středu, tedy \({\displaystyle k=k_{Z}{{\|A_{Z}\|+v} \over {\|A_{Z}\|}}}\). Souřadnice bodu \({\displaystyle A}\) pak už triviálně získáme pomocí \({\displaystyle k}\) a souřadnic \({\displaystyle A_{1}}\).

Příklad

Mějme bod určený polárními souřadnicemi

Předpokládejme, že polární souřadnice jsou vztaženy k povrchu referenčního elipsoidu WGS-84, tedy

Potom

Tedy

Převod kartézských souřadnic na polární

Poznámka: Použití funkce arctg je chybné, mj. nerespektuje znaménko výsledku. Návod by bylo vhodné upravit, ale bude složitější. Inspirací může být implementace funkce atan2 systému Matlab.

Předpokládejme, že pracujeme se zploštělým sferoidem, např. s referenčním elipsoidem Země. Pro obecný elipsoid lze postup zobecnit.

  1. Mějme bod \({\displaystyle A}\) a jeho kartézské souřadnice \({\displaystyle x}\), \({\displaystyle y}\) a \({\displaystyle z}\).
  2. Polopřímku \({\displaystyle r}\), která vychází ze středu elipsoidu a prochází bodem \({\displaystyle A}\), lze parametricky vyjádřit jako \({\displaystyle [0;0;0]+k\cdot A}\), kde \({\displaystyle k>0}\).
  3. Protože bod \({\displaystyle A}\) může mít nenulovou výšku a nemusí tedy ležet přímo na povrchu elipsoidu, potřebujeme najít bod \({\displaystyle A_{Z}}\), který leží na průniku polopřímky \({\displaystyle r}\) s povrchem elipsoidu.
  4. Tento bod musí současně splňovat rovnici pro polopřímku i rovnici pro povrch elipsoidu \({\displaystyle {{X_{Z}^{2}+y_{Z}^{2}} \over {a^{2}}}+{{Z_{Z}^{2}} \over {b^{2}}}=1}\).
  5. Vyjádříme-li souřadnice \({\displaystyle A_{Z}}\) pomocí \({\displaystyle k_{Z}}\) a souřadnic \({\displaystyle A}\), dostaneme \({\displaystyle {{K_{Z}^{2}x^{2}+k_{Z}^{2}y^{2}} \over {a^{2}}}+{{K_{Z}^{2}z^{2}} \over {b^{2}}}=1}\).
  6. \({\displaystyle {k_{Z}^{2}}={{A^{2}b^{2}} \over {b^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}z^{2}}}}\)
  7. \({\displaystyle k_{Z}=\pm {\sqrt {{A^{2}b^{2}} \over {b^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}z^{2}}}}}\)
  8. Dostaneme 2 koeficienty, jeden kladný a jeden záporný, protože přímka protne povrch elipsoidu na dvou místech. Jak už ale bylo zmíněno, zajímá nás pouze polopřímka vedoucí ze středu elipsoidu směrem k bodu \({\displaystyle A}\), využijeme tedy pouze kladný z obou koeficientů.
  9. S pomocí koeficientu \({\displaystyle k}\) dostaneme souřadnice bodu \({\displaystyle A_{Z}=k_{Z}\cdot [x;y;z]}\).
  10. Délka vektoru z bodu \({\displaystyle A_{Z}}\) do bodu \({\displaystyle A}\) odpovídá hledané nadmořské výšce: \({\displaystyle v=\pm {\sqrt {(x-x_{Z})^{2}+(y-y_{Z})^{2}+(z-z_{Z})^{2}}}}\). Směr vektoru nám prozradí, zda má být výška kladná, nebo záporná. Totéž lze vyčíst i z koeficientu \({\displaystyle k}\) - pokud je větší než 1, leží bod \({\displaystyle A_{Z}}\) na polopřímce \({\displaystyle r}\) až za bodem \({\displaystyle A}\), a výška bodu \({\displaystyle A}\) je tedy záporná. V opačném případě je výška kladná.
  11. Délka \({\displaystyle \lambda ={\mbox{tg}}^{-1}{y \over {x}}}\)
  12. Šířka \({\displaystyle \phi ={\mbox{tg }}^{-1}{z \over {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\)

Příklad

Mějme bod \({\displaystyle A}\) určený kartézskými souřadnicemi

Hledáme polární souřadnice tohoto bodu vztažené k povrchu referenčního elipsoidu WGS-84, tedy

Potom

Tedy

(Pohledem na mapu pak zjistíme, že tento bod leží na předměstí Washingtonu.)

Vzdálenost dvou bodů na povrchu elipsoidu


Vzdálenost dvou bodů na povrchu (nebo v blízkosti povrchu) elipsoidu nás zajímá zejména u referenčního elipsoidu, chceme-li určit vzdálenost dvou bodů na povrchu Země či jiné planety.

Po přímce

Nejkratší vzdáleností dvou bodů v prostoru je délka úsečky, kterou tyto body vymezují, tedy vzdálenost měřená na přímce. Pro praktické užití na referenčním elipsoidu má ovšem takto zjištěná vzdálenost zásadní nevýhodu, totiž že spojnice obou bodů typicky prochází pod povrchem elipsoidu a neodpovídá tedy vzdálenosti, kterou musí při přesunu mezi oběma body urazit např. letadlo. Pouze u malých vzdáleností je tento rozdíl zanedbatelný.

Vzdálenost bodů \({\displaystyle A}\) a \({\displaystyle B}\) lze přímo vypočítat z jejich kartézských souřadnic, stačí tedy převést polární souřadnice na kartézské podle výše uvedeného postupu.

\({\displaystyle d={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}}}\)

Příklad

Mějme body A (Praha) a B (Washington) jako ve výše uvedených příkladech, tedy

Potom

Po elipse

Vzdálenost vedená po povrchu elipsoidu by byla délka úseku elipsy, která prochází oběma body a má střed shodný se středem elipsoidu. Tato elipsa je průnikem povrchu elipsoidu a roviny definované středem elipsoidu a oběma body, jejichž vzájemnou vzdálenost měříme. Problém je, že neznáme poloosy této elipsy; víme pouze, že leží někde mezi největší a nejmenší poloosou elipsoidu. Můžeme však aspoň provést horní a dolní odhad vzdálenosti, pokud budeme místo elipsy postupně uvažovat kružnice s poloměry odpovídajícími největší a nejmenší poloose elipsoidu. Tento postup navíc nezohledňuje případnou výšku bodů A a B nad povrchem elipsoidu.

Při cestování po dráze dané elipsou se středem uprostřed elipsoidu se soustavně mění azimut, tedy úhel mezi směrem pohybu a severem! Přesun z bodu A do bodu B lze také provést po loxodromě (anglicky rhumb line), tedy čáře protínající všechny poledníky pod stejným úhlem; taková trasa však bude delší než trasa po elipse. I tento rozdíl je pro blízké body zanedbatelný.

Příklad

Mějme body A (Praha) a B (Washington) jako ve výše uvedených příkladech, tedy

a poloosy referenčního elipsoidu

Potom

Pro kružnice s maximálním (a) a minimálním (b) poloměrem pak získáme horní a dolní odhad vzdálenosti po elipse:

Jak vidíme, chyba způsobená tím, že se pohybujeme po kružnici místo po elipse, je relativně malá (23 km), zatímco rozdíl mezi vzdáleností po kružnici a vzdáleností po přímce je poměrně značný (320, resp. 343 km).

Odkazy


Související články

Externí odkazy










Kategorie: Oblá tělesa | Navigace | Kartografie | Plochy




Poslední aktualizace: 29.11.2021 03:31:28 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-BY-SA-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.