Frekvenční modulace


Principem frekvenční modulace (FM) je závislost okamžité frekvence nosné vlny na změnách amplitudy modulačního signálu. Můžeme říct, že okamžitá úhlová frekvence \({\displaystyle \Omega (t)}\) je funkcí času a mění se v rytmu okamžité výchylky modulačního signálu. Informace je tedy kódována nikoliv změnou amplitudy nebo fáze, ale změnou frekvence nosné vlny. Maximální amplitudě napětí modulačního průběhu \({\displaystyle U_{m}}\) odpovídá maximální změna frekvence nosné, kterou nazýváme frekvenční zdvih a značíme \({\displaystyle \Delta f}\), čemuž odpovídá úhlová frekvence \({\displaystyle \Delta \Omega }\).

Obsah

Matematický popis


Obecně bude mít nosná vlna následující průběh:

\({\displaystyle u_{n}(t)=U_{n}\sin(\Omega t+\phi )\,}\)
kde \({\displaystyle U_{n}}\) je amplituda nosné, \({\displaystyle \Omega }\) je úhlová frekvence nosné a \({\displaystyle \phi }\) fáze.
V případě frekvenční modulace je funkcí času právě úhlová frekvence \({\displaystyle \Omega }\).

Úhlovou frekvenci jako harmonickou funkci času můžeme vyjádřit vztahem:

\({\displaystyle \Omega (t)=\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t)\,}\)
kde \({\displaystyle \Delta \Omega }\) je frekvenční zdvih, \({\displaystyle \omega }\) pak úhlová frekvence modulační vlny.

Po dosazení do rovnice nosné vlny a položením fázového posuvu \({\displaystyle \phi =0}\) (jeho velikost je konstantní a nemá vliv na výsledek dalších odvození a výpočtů) dostáváme vztah:

\({\displaystyle u_{n}(t)=U_{n}\sin((\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t))t)=U_{n}\sin(\Phi (t,\omega ))\,}\)
kde funkce \({\displaystyle \Phi (t,\omega )}\) je okamžitá fáze napětí a pro \({\displaystyle \phi =0}\) je integrálem úhlové frekvence \({\displaystyle \Omega (t)}\) podle \({\displaystyle t}\). Platí tedy:
\({\displaystyle \Phi (t,\omega )=\int \Omega (t)\,\mathrm {d} t=\int (\Omega +\Delta \Omega \cos(\omega t))\mathrm {d} t=\Omega t+{\frac {\Delta \Omega }{\omega }}\sin(\omega t)}\)

Dále zavádíme parametr zvaný modulační index FM označený \({\displaystyle m_{FM}}\):

\({\displaystyle m_{FM}={\frac {\Delta \Omega }{\omega }}={\frac {2\pi \Delta f}{2\pi f_{m}}}}\)
kde \({\displaystyle \Delta f}\) je frekvenční zdvih a \({\displaystyle f_{m}}\) frekvence modulačního signálu.

Dosazením funkce \({\displaystyle \Phi (t,\omega )}\) zpět do rovnice \({\displaystyle u_{n}=U_{n}\sin(\Phi (t,\omega ))\,}\) dostáváme obvyklý tvar rovnice frekvenčně modulované vlny:

\({\displaystyle u_{n}=U_{n}\sin(\Omega t+m_{FM}\sin(\omega t))\,}\)
kde \({\displaystyle u_{n}}\) je okamžitá hodnota napětí modulovaného signálu, \({\displaystyle U_{n}}\) amplituda nosné vlny, \({\displaystyle \Omega }\) úhlová frekvence nosné vlny, \({\displaystyle m_{FM}}\) modulační index a \({\displaystyle \omega }\) frekvence modulační vlny.

Spektrum frekvenčně modulovaného signálu


Úpravou rovnice frekvenčně modulované vlny podle vzorce pro součin argumentů funkce sinus získáme rovnici ve tvaru:

\({\displaystyle u_{n}=U_{n}(\sin(\Omega t)\cos(m_{FM}\sin(\omega t))+\cos(\Omega t)\sin(m_{FM}\sin(\omega t)))\,}\)

Dále platí, že lze provést tento rozvoj:

\({\displaystyle \sin(m_{FM}\sin(\omega t))=2J_{1}(M_{FM})\sin(\omega t)+2J_{3}(M_{FM})\sin(3\omega t)+2J_{5}(M_{FM})\sin(5\omega t)+\cdots \,}\)
\({\displaystyle \cos(m_{FM}\sin(\omega t))=J_{0}(M_{FM})+2J_{2}(M_{FM})\cos(2\omega t)+2J_{4}(M_{FM})\cos(4\omega t)+\cdots \,}\)

Vidíme, že vzniká nekonečná řada součinů. Funkce označené jako \({\displaystyle J_{n}(m_{FM})}\) jsou Besselovy funkce I. druhu n-tého řádu s argumentem \({\displaystyle m_{FM}}\), což je modulační index FM. Dosazením do poslední rovnice a další úpravou podle vzorců pro součiny goniometrických funkcí získáme nekonečnou řadu diskrétních složek o úhlových frekvencích:

\({\displaystyle \Omega ,\Omega -\omega ,\Omega -2\omega ,\Omega -3\omega ,\Omega -4\omega ,\Omega -5\omega ,\dots \,}\)
\({\displaystyle \Omega +\omega ,\Omega +2\omega ,\Omega +3\omega ,\Omega +4\omega ,\Omega +5\omega ,\dots \,}\)

Z výše uvedeného rozvoje vyplývá, že frekvenční modulace jednou frekvencí \({\displaystyle \omega }\) vytvoří nekonečně mnoho postranních frekvencí, jež jsou rozmístěny symetricky na obě strany od nosné frekvence ve vzdálenostech daných násobky modulační frekvence \({\displaystyle \omega }\). Amplitudy nosné vlny i jednotlivých postranních frekvencí jsou dány hodnotami Besselových funkcí I. druhu \({\displaystyle J_{n}(m_{FM})}\) a jsou tedy závislé na modulačním indexu. Směrem od nosné tyto amplitudy postupně klesají, nikoliv však monotónně. Pro některé konkrétní hodnoty modulačního indexu mohou jednotlivé složky zcela vymizet (hodnota funkce \({\displaystyle J_{n}(m_{FM})}\) je právě nulová). Stejně tak může vymizet i nosná vlna, platí-li, že \({\displaystyle J_{0}(m_{FM})=0}\). Vzhledem ke klesajícím hodnotám amplitud jednotlivých složek klesá jejich vliv na kvalitu přenosu. Pro dostatečně kvalitní přenos pak stačí přenášet pouze několik prvních postranních frekvencí. Kolik je jich v konkrétním případě třeba závisí na modulačním indexu a přípustné degradaci přenášeného signálu. Pro kvalitní přenos je třeba modulační index zhruba 3 až 5. Nižší způsobuje větší zkreslení, vyšší zhoršuje odstup signál / šum. Pro zlepšení šumových poměrů se při FM přenosu běžně používá nadzvednutí vyšších frekvencí modulačního spektra (nízkofrekvenční preemfáze a deemfáze).

Potřebná šířka přenosového pásma je závislá na modulačním indexu \({\displaystyle m_{FM}}\). Pro hodnotu \({\displaystyle m_{FM}=5}\) se uvádí následující empirický vzorec:

\({\displaystyle B\geq 2(\Delta f+f_{max})\,}\)
kde \({\displaystyle \Delta f}\) je frekvenční zdvih a \({\displaystyle f_{max}}\) je maximální modulační frekvence.

Využití


FM je běžně využívána v pásmu VHF pro kvalitní přenos zvuku. Zvuk u klasických analogových televizních soustav je také přenášen za použití frekvenční modulace, pro komerční i radioamatérské komunikační účely je využívána její úzkopásmová forma. Dalším využitím je FM syntéza, která získala oblibu díky raným syntezátorům a stala se standardním způsobem syntézy zvuku u několika generací zvukových karet. Bez FM by se taktéž neobešel analogový magnetický záznam obrazu, kde je s malým modulačním indexem používána pro snížení oktávového rozsahu zaznamenávaného signálu, a to z cca 18 oktáv na méně než 3 oktávy.

Parametry některých aplikací FM

Služba \({\displaystyle f_{max}}\) \({\displaystyle \Delta f}\) \({\displaystyle m_{FM}}\)
FM rozhlas mono 15 kHz 75 kHz 5
FM rozhlas stereo 53 kHz 75 kHz 1,42
TV zvuk 15 kHz 50 kHz 3,33
Komunikační účely < 0,5

Související články


Externí odkazy











Kategorie: Telekomunikace | Modulace




Poslední aktualizace: 20.02.2021 02:30:36 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-by-sa-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.