Jehlan


Jehlan je trojrozměrné těleso. Jeho základnu (nebo také podstavu) tvoří mnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním bodem mimo rovinu základny – tento bod se obvykle nazývá (hlavní) vrchol jehlanu.

Kolmá vzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška jehlanu.

Obsah

Obecné vlastnosti


Objem a povrch

Objem jehlanu se vypočítá jako

\({\displaystyle V={\frac {S_{p}.v}{3}}\,\!}\),

kde \({\displaystyle S_{p}\,\!}\) je obsah podstavy a \({\displaystyle v\,\!}\) výška.

Povrch jehlanu se vypočítává jako součet obsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny.

\({\displaystyle S=P+Q\,}\),

kde \({\displaystyle P}\) je obsah podstavy a \({\displaystyle Q}\) je obsah pláště.

Na výše uvedených vzorcích je zajímavé, že pokud budu vrchol jehlanu posunovat v rovině rovnoběžné s rovinou základny, nemění se objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch - ten může při posouvání vrcholu „dostatečně daleko“ v dané rovině růst nad všechny meze.

Souměrnost

Jehlan nemůže nikdy být středově souměrný.

Jehlan je osově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny (laičtěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“.). Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může být rovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“.) Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

Další vlastnosti

Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o \({\displaystyle n\,\!}\) stranách, má jehlan:

Jehlan nemá tělesové úhlopříčky, stěnové mohou být jen v základně (pro n větší než 3). Jehlan je konvexní jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.

Speciální případy


Pokud kolmice k podstavě procházející vrcholem protíná podstavu v jejím těžišti, nazýváme takový jehlan kolmý. Pokud tomu tak není, nazýváme jej kosý.

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o pravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

Výpočet údajů v pravidelném \({\displaystyle n}\)-bokém jehlanu určeném délkou podstavné hrany \({\displaystyle a}\)a jeho výškou \({\displaystyle v}\):


\({\displaystyle v_{s}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4v^{2}+\left(a\cdot {\cot {\frac {\pi }{n}}}\right)^{2}}}}\)

\({\displaystyle s={\frac {1}{2}}{\sqrt {4v^{2}+\left({\frac {a}{\sin {\frac {\pi }{n}}}}\right)^{2}}}}\)

\({\displaystyle S={\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}\left(1+{\sqrt {1+4\left({\frac {v}{a}}\tan {\frac {\pi }{n}}\right)^{2}}}\right)}\)

\({\displaystyle V={\frac {1}{12}}na^{2}v\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}}\)

\({\displaystyle \alpha =\arctan \left(2{\frac {v}{a}}\sin {\frac {\pi }{n}}\right)}\)

\({\displaystyle \beta =\arctan \left(2{\frac {v}{a}}\tan {\frac {\pi }{n}}\right)}\)

\({\displaystyle \gamma =2\arctan {\frac {a}{\sqrt {4v^{2}+a^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}}}\)

\({\displaystyle \delta =\arctan {\sqrt {4\left({\frac {v}{a}}\right)^{2}+\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}}\)

\({\displaystyle \varepsilon =2\arcsin {\sqrt {\frac {4v^{2}\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}+a^{2}}{4v^{2}\tan ^{2}{\frac {\pi }{n}}+a^{2}}}}}\), speciálně pro \({\displaystyle n=4}\) je \({\displaystyle \varepsilon =2\arcsin {\sqrt {\frac {2v^{2}+a^{2}}{4v^{2}+a^{2}}}}}\)

Pravidelný čtyřstěn

Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno z platónských těles.

Jeho objem \({\displaystyle V\,\!}\) a obsah \({\displaystyle S\,\!}\) lze vypočítat z délky jeho hrany:

Jeho výšku lze vypočítat jako \({\displaystyle v=(a/3){\sqrt {6}}}\) .

Pravidelný čtyřboký jehlan

Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme o pravidelném čtyřbokém jehlanu.

Jeho objem \({\displaystyle V\,\!}\) a povrch \({\displaystyle S\,\!}\) lze vypočítat z délky strany základny \({\displaystyle a\,\!}\) a výšky \({\displaystyle v\,\!}\):

Vícerozměrná geometrická tělesa
d=2 trojúhelník čtverec šestiúhelník pětiúhelník
d=3 jehlan krychle, oktaedr krychloktaedr, kosočtverečný dvanáctistěn dvanáctistěn, dvacetistěn
d=4 5nadstěn teserakt, 16nadstěn 24nadstěn 120nadstěn,600nadstěn
d=5 5simplex penterakt, 5ortoplex
d=6 6simplex hexerakt, 6ortoplex
d=7 7simplex hepterakt, 7ortoplex
d=8 8simplex okterakt, 8ortoplex
d=9 9simplex ennerakt, 9ortoplex
d=10 10simplex dekerakt, 10ortoplex
d=11 11simplex hendekerakt, 11ortoplex
d=12 12simplex dodekerakt, 12ortoplex
d=13 13simplex triskaidekerakt, 13ortoplex
d=14 14simplex tetradekerakt, 14ortoplex
d=15 15simplex pentadekerakt, 15ortoplex
d=16 16simplex hexadekerakt, 16ortoplex
d=17 17simplex heptadekerakt, 17ortoplex
d=18 18simplex oktadekerakt, 18ortoplex
d=19 19simplex ennedekerakt, 19ortoplex
d=20 20simplex ikosarakt, 20ortoplex

Literatura


Související články


Externí odkazy











Kategorie: Mnohostěny




Poslední aktualizace: 03.10.2021 04:20:34 CEST

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-BY-SA-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.