Koule


Tento článek je o prostorovém tělese. Další významy jsou uvedeny na stránce Koule (rozcestník).

Koule je prostorové těleso tvořené množinou všech bodů (trojrozměrného euklidovského) prostoru, jejichž vzdálenost od zadaného bodu (středu) je nejvýše rovna zadanému poloměru. Body, jejichž vzdálenost je právě rovna poloměru, tvoří povrch koule, tzv. kulovou plochu (také označovanou jako sféru nebo sférickou plochu). Pojmy koule a sféry se tedy v matematice obvykle rozlišují, na rozdíl od běžné řeči. Pro označení „vnitřku“ koule, tedy pro kouli bez jejího povrchu, se používá označení otevřená koule.

Pojem koule a s ním související pojmy lze zobecnit na každý metrický prostor s metrikou (vzdáleností) ρ. Je-li x prvek metrického prostoru a r > 0 reálné číslo, tak koule se středem x a poloměrem r je množina všech bodů tohoto prostoru y vyhovujících podmínce

\({\displaystyle K=\{y\in P:\rho (y,x)\leq r\},}\)

sféra se stejným středem a poloměrem je

\({\displaystyle S=\{y\in P:\rho (y,x)=r\}}\)

a otevřená koule je

\({\displaystyle B=\{y\in P:\rho (y,x)<r\}.}\)

Obsah

Vlastnosti


Odvození vzorce pro povrch a objem koule


Povrch

Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu <a,b> a má zde spojitou derivaci f'(x). Potom pro obsah rotační plochy vzniklé rotací kolem osy x platí:
\({\displaystyle S=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}dx}\)
Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je:
\({\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}\) >>> vyjádříme y:
\({\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\)
A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r.
\({\displaystyle S=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1+(-{\frac {x}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}})^{2}}}dx}\)
Po úpravách dostáváme:
\({\displaystyle S=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {r^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}dx}\)
\({\displaystyle S=2\pi \int _{-r}^{r}rdx}\) - integrujeme:
\({\displaystyle S=2\pi [rx]_{-r}^{r}}\) - odečítáme dolní hodnotu od horní:
\({\displaystyle S=2\pi r^{2}-(-2\pi r^{2})=4\pi r^{2}}\)

Objem

Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu <a;b> a nechť T je těleso v \({\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}\), které vznikne rotací grafu f(x) kolem osy x. Potom pro objem tělesa T je dán vzorcem:
\({\displaystyle V=\pi \int _{a}^{b}(f(x))^{2}dx}\)
Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je:
\({\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}\) >>> vyjádříme y:
\({\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}\)
A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r.
\({\displaystyle V=\pi \int _{-r}^{r}({\sqrt {r^{2}-x^{2}}})^{2}dx}\)
\({\displaystyle V=\pi \int _{-r}^{r}r^{2}-x^{2}dx}\) - integrujeme
\({\displaystyle V=\pi [r^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}]_{-r}^{r}}\) - odečteme dolní hodnotu od horní:
\({\displaystyle V=\pi [r^{3}-{\frac {r^{3}}{3}}]-\pi [-r^{3}+{\frac {r^{3}}{3}}]}\)
\({\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}\)

Odvození objemu koule bez použití integrálního počtu umožňuje Cavalieriův princip.

Analytické vyjádření


V analytické geometrii lze kouli se středem [x0, y0, z0] a poloměrem r definovat jako množinu bodů [x, y, z], pro která platí nerovnost:

\({\displaystyle {(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}+{(z-z_{0})}^{2}\leq r^{2}}\).

Parametrické vyjádření

Kulovou plochu se středem [x0, y0, z0] a poloměrem r lze parametrizovat následujícími rovnicemi:

\({\displaystyle x=x_{0}+r\cos \varphi \sin \theta }\)
\({\displaystyle y=y_{0}+r\sin \varphi \sin \theta }\)
\({\displaystyle z=z_{0}+r\cos \theta \,}\)

přičemž \({\displaystyle 0<\varphi \leq 2\pi }\), \({\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }\).

Rovnice kulové plochy

Obecná rovnice kulové plochy je

\({\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+mx+ny+pz+q=0}\)

Ze tvaru této rovnice je vidět, že rovnici kulové plochy získáme z obecnější rovnice kvadratické plochy tehdy, pokud v rovnici kvadratické plochy vymizí součiny \({\displaystyle xy,xz,yz}\) a koeficienty u druhých mocnin jsou stejné.

Uvedenou rovnici lze přepsat do tvaru

\({\displaystyle {\left(x+{\frac {m}{2}}\right)}^{2}+{\left(y+{\frac {n}{2}}\right)}^{2}+{\left(z+{\frac {p}{2}}\right)}^{2}={\frac {m^{2}+n^{2}+p^{2}}{4}}-q}\)

Tato rovnice odpovídá kulové ploše se středem \({\displaystyle \left[-{\frac {m}{2}},-{\frac {n}{2}},-{\frac {p}{2}}\right]}\) a poloměrem \({\displaystyle r={\sqrt {{\frac {1}{4}}(m^{2}+n^{2}+p^{2})-q}}}\). Je-li výraz pod odmocninou kladný, hovoříme o reálné kulové ploše. Je-li výraz pod odmocninou záporný, pak dané rovnici nevyhovuje žádný bod prostoru (jde o tzv. imaginární kulovou plochu). Je-li výraz pod odmocninou nulový, vyhovuje rovnici právě jeden bod prostoru.

Zobecnění


Kouli (resp. kulovou plochu) lze považovat za trojrozměrnou obdobu kruhu (resp. kružnice). Obdoba koule v ještě vyšších dimenzích je tzv. hyperkoule.

V metrickém prostoru X je otevřená koule definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost d od daného bodu x je ostře menší než poloměr r, tedy \({\displaystyle U(x,r)=\{y\in X:\;d(x,y)<r\}}\). Otevřená koule je pochopitelně otevřená množina. Sféra je definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost d od daného bodu x je rovna poloměru r, tedy \({\displaystyle S(x,r)=\{y\in X:\;d(x,y)=r\}}\). Sféra je uzavřená množina.

V topologii je koule taková množina, která je homeomorfní běžné eukleidovské kouli.

Související články


Externí odkazy











Kategorie: Oblá tělesa




Poslední aktualizace: 03.10.2021 04:01:17 CEST

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-BY-SA-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.