Kužel je oblé těleso, které vznikne jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy.
Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. Plášť kužele a podstava se nazývají společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmá vzdálenost mezi podstavou a vrcholem se nazývá výška kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště je strana kužele.
Je-li podstavou kužele kruh, pak se kužel nazývá kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak jde o rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak se označuje jako kosý.
Mějme jednoduchou uzavřenou křivku \({\displaystyle k}\), která leží v rovině. Body, které leží na přímkách procházejících libovolným bodem křivky \({\displaystyle k}\) a bodem \({\displaystyle V}\) ležícím mimo rovinu křivky \({\displaystyle k}\), tvoří kuželovou plochu. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor.
Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraníme podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužíme na přímku. Nejlepší představa je taková, že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.
Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině \({\displaystyle z=c}\) prochází elipsou \({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}\) (tzv. řídící křivka), má rovnici
Přímky, které tvoří povrch kužele, se nazývají tvořící přímky.
Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů
Pro \({\displaystyle a=b}\) jde o rotační kužel s osou rotace \({\displaystyle z}\).
Kuželovou plochu s vrcholem v bodě \({\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}\) je vždy možné vyjádřit rovnicí
Pro objem kužele platí
kde \({\displaystyle S_{p}}\) je obsah podstavy a \({\displaystyle v}\) je výška kužele.
Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel závisí na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.
Označíme-li \({\displaystyle r}\) poloměr kruhové podstavy kužele a \({\displaystyle h}\) výšku kužele (tj. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:
Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.
Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:
Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:
To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.
Kategorie: Oblá tělesa
