Kužel


Další významy jsou uvedeny na stránce Kužel (rozcestník).

Kužel je oblé těleso, které vznikne jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy.

Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. Plášť kužele a podstava se nazývají společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmá vzdálenost mezi podstavou a vrcholem se nazývá výška kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště je strana kužele.

Je-li podstavou kužele kruh, pak se kužel nazývá kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak jde o rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak se označuje jako kosý.

Obsah

Kuželová plocha a prostor


Mějme jednoduchou uzavřenou křivku \({\displaystyle k}\), která leží v rovině. Body, které leží na přímkách procházejících libovolným bodem křivky \({\displaystyle k}\) a bodem \({\displaystyle V}\) ležícím mimo rovinu křivky \({\displaystyle k}\), tvoří kuželovou plochu. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor.

Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraníme podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužíme na přímku. Nejlepší představa je taková, že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.

Rovnice

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině \({\displaystyle z=c}\) prochází elipsou \({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}\) (tzv. řídící křivka), má rovnici

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}\)

Přímky, které tvoří povrch kužele, se nazývají tvořící přímky.

Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=\pm 1}\)

Pro \({\displaystyle a=b}\) jde o rotační kužel s osou rotace \({\displaystyle z}\).

Kuželovou plochu s vrcholem v bodě \({\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}\) je vždy možné vyjádřit rovnicí

\({\displaystyle F\left({\frac {x-x_{0}}{z-z_{0}}},{\frac {y-y_{0}}{z-z_{0}}}\right)=0}\)

Vlastnosti


Pro objem kužele platí

\({\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot S_{p}\cdot v}\),

kde \({\displaystyle S_{p}}\) je obsah podstavy a \({\displaystyle v}\) je výška kužele.

Rotační kužel


Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel závisí na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.

Vlastnosti

Označíme-li \({\displaystyle r}\) poloměr kruhové podstavy kužele a \({\displaystyle h}\) výšku kužele (tj. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:

\({\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\,\!}\)
\({\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}\,\!}\)
\({\displaystyle S=S_{p}+S_{pl}=\pi r(r+s)\,\!}\)

Kuželosečky

Související informace naleznete také v článku Kuželosečka.

Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.

Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:

Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:

To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.

Literatura


Související články


Externí odkazy











Kategorie: Oblá tělesa




Poslední aktualizace: 03.10.2021 03:35:08 CEST

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-BY-SA-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.