Kulová úseč


V geometrii je kulová úseč část koule odříznutá rovinou. Kulová úseč je těleso. Prochází-li rovina středem koule, tzn. výška kulové úseče se rovná poloměru koule, kulová úseč se pak nazývá polokoule.

Povrch kulové úseče (bez podstavy) se nazývá kulový vrchlík. Kulový vrchlík je plocha kterou je kulová úseč omezena. Kulový vrchlík si můžeme představit jako „čepičku“.

Obsah

Objem kulové úseče a povrch kulového vrchlíku


Objem kulové úseče a povrch zakřiveného povrchu kulového vrchlíku lze vypočítat pomocí následujících vztahů:

Použitím \({\displaystyle r}\) a \({\displaystyle v}\) Použitím \({\displaystyle \rho }\) a \({\displaystyle v}\) Použitím \({\displaystyle r}\) a \({\displaystyle \theta }\)
Objem \({\displaystyle V={\frac {\pi v^{2}}{3}}(3r-v)}\) \({\displaystyle V={\frac {1}{6}}\pi v(3\rho ^{2}+v^{2})}\) \({\displaystyle V={\frac {\pi }{3}}r^{3}(2+\cos \theta )(1-\cos \theta )^{2}}\)
Plocha \({\displaystyle S=2\pi rv}\) \({\displaystyle S=\pi (\rho ^{2}+v^{2})}\) \({\displaystyle S=2\pi r^{2}(1-\cos \theta )}\)


Vzorce používající \({\displaystyle r}\) a \({\displaystyle v}\) lze vyjádřit tak, aby používali poloměr podstavy úseče \({\displaystyle a}\) místo \({\displaystyle r}\), použitím Pythagorovy věty:

\({\displaystyle r^{2}=(r-v)^{2}+\rho ^{2}=r^{2}+v^{2}-2rv+\rho ^{2}\,,}\)

aby

\({\displaystyle r={\frac {\rho ^{2}+v^{2}}{2v}}\,.}\)

Dosazením do vzorců dostáváme:

\({\displaystyle V={\frac {\pi v^{2}}{3}}\left({\frac {3\rho ^{2}+3v^{2}}{2v}}-v\right)={\frac {1}{6}}\pi v(3\rho ^{2}+v^{2})\,,}\)
\({\displaystyle S=2\pi {\frac {(\rho ^{2}+v^{2})}{2v}}v=\pi (\rho ^{2}+v^{2})\,.}\)


Odvození objemu a plochy povrchu pomocí infinitezimálního počtu


Vzorce objemu a plochy mohou být odvozeny zkoumáním rotace funkce

\({\displaystyle f(x)={\sqrt {r^{2}-(x-r)^{2}}}={\sqrt {2rx-x^{2}}}}\)

for \({\displaystyle x\in [0,v]}\), použijeme vztah výpočtu plochy pomocí určitého integrálu a pro výpočet objemu tělesa také za pomocí určitého integrálu.

Výpočet plochy je

\({\displaystyle S=2\pi \int _{0}^{v}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx}\)

Derivací funkce f je:

\({\displaystyle f'(x)={\frac {r-x}{\sqrt {2rx-x^{2}}}}}\)

a odtud

\({\displaystyle 1+f'(x)^{2}={\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\)

Vzorec pro tuto oblast je tedy

\({\displaystyle S=2\pi \int _{0}^{v}{\sqrt {2rx-x^{2}}}{\sqrt {\frac {r^{2}}{2rx-x^{2}}}}\,dx=2\pi \int _{0}^{v}r\,dx=2\pi r\left[x\right]_{0}^{v}=2\pi rv}\)

Objem je

\({\displaystyle V=\pi \int _{0}^{v}f(x)^{2}\,dx=\pi \int _{0}^{v}(2rx-x^{2})\,dx=\pi \left[rx^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{v}={\frac {\pi v^{2}}{3}}(3r-v)}\)

Aplikace


Objem průniku dvou protínajících se koulí

Objem průniku dvou protínajících se koulí poloměrů \({\displaystyle r_{1}}\) a \({\displaystyle r_{2}}\) je

\({\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)}\,,}\)

kde

\({\displaystyle V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{3}}\)

je součet objemů obou izolovaných koulí a

\({\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi v_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-v_{1})+{\frac {\pi v_{2}^{2}}{3}}(3r_{2}-v_{2})}\)

je součet objemů dvou úsečí protínající se koulí. Kde \({\displaystyle d\leq r_{1}+r_{2}}\) je vzdálenost středů koulí, s odečtením dvou proměnných \({\displaystyle v_{1}}\) a \({\displaystyle v_{2}}\) vede na

\({\displaystyle V^{(2)}={\frac {\pi }{12d}}(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d(r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\right)\,.}\)

Plocha ohraničená dvěma podstavami kulové vrstvy

Zakřivená plocha kulové vrstvy ohraničená dvěma rovnoběžnými disky je rozdílem povrchových ploch jejich příslušných kulových vrchlíků. Pro oblast poloměru \({\displaystyle r}\) a čepice s výškami \({\displaystyle v_{1}}\) a \({\displaystyle v_{2}}\), oblast je

\({\displaystyle S=2\pi r|v_{1}-v_{2}|\,,}\)

nebo při užití zeměpisné polohy se souřadnicemi \({\displaystyle \phi _{1}}\) and \({\displaystyle \phi _{2}}\),[1]

\({\displaystyle S=2\pi r^{2}|\sin \phi _{1}-\sin \phi _{2}|\,,}\)

Například, Země je koule s poloměrem 6371 km, plocha arktické oblasti (severní arktické oblasti, od souřadnice 66.56° v srpnu 2016[2]) je 2π·63712|sin 90° − sin 66.56°| = 21.04 mil. km2, nebo 0.5·|sin 90° − sin 66.56°| = 4.125% celkové plochy Země.

Tento vzorec lze také použít k prokázání, že polovina povrchové plochy Země leží mezi 30 ° jižní a 30 ° severní šířky ve sférické zóně, která zahrnuje všechny tropické oblasti .

Odkazy


Reference

  1. [s.l.]: [s.n.] Dostupné online . ISBN 9780130868268.
  2. Dostupné online .

Literatura










Kategorie: Oblá tělesa




Poslední aktualizace: 04.10.2021 11:22:26 CEST

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-BY-SA-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.