Rovnice


Uvažujme dvě funkce \({\displaystyle f(x),g(x)}\), které jsou definovány na nějaké množině \({\displaystyle D}\), pak nalezení všech \({\displaystyle x\in D}\), která splňují rovnost

\({\displaystyle f(x)=g(x)}\)

se nazývá rovnicí o jedné neznámé \({\displaystyle x}\). Funkce \({\displaystyle f(x)}\) se nazývá levá strana rovnice a \({\displaystyle g(x)}\) se nazývá pravá strana rovnice.

Obsah

Kořeny rovnice


Související informace naleznete také v článku Kořen (matematika).

Každé číslo \({\displaystyle x_{0}\in D}\), které vyhovuje vztahu \({\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})}\), se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v \({\displaystyle D}\), nazývá se řešitelná v \({\displaystyle D}\), pokud žádný kořen v \({\displaystyle D}\) nemá, říkáme, že rovnice je v \({\displaystyle D}\) neřešitelná. Pokud je rovnice \({\displaystyle f(x)=g(x)}\) splněna pro všechna \({\displaystyle x\in D}\), jde o identitu, což značíme

\({\displaystyle f(x)\equiv g(x)}\)


Triviální řešení

Řešení, které je identicky rovno nule, se označuje jako triviální. Pokud řešení rovnice není identicky rovno nule, hovoří se o netriviálním řešení.

V mnoha případech je požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení přímo součástí zadání problému.

Např. triviálním řešením diferenciální rovnice

\({\displaystyle y^{\prime }=y}\)

je

\({\displaystyle y=0}\),

což je funkce identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar

\({\displaystyle y=\mathrm {e} ^{x}}\),

což je exponenciální funkce.

Jiným příkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální řešení rovnice \({\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}\) pro \({\displaystyle n>2}\). Triviálním řešením by v tomto případě bylo \({\displaystyle a=b=c=0}\), což platí pro libovolné \({\displaystyle n}\). Podobně je triviálním řešením \({\displaystyle a=1,b=0,c=1}\). Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.

Ekvivalentní rovnice


Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice \({\displaystyle f_{1}(x)=g_{1}(x),f_{2}(x)=g_{2}(x)}\), pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní.

Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:

Rovnici \({\displaystyle f(x)=g(x)}\) je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

\({\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)=0}\)

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

Zkouška


Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

Rovnice o více neznámých


Rovnice o \({\displaystyle n}\) neznámých má tvar

\({\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0}\)

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámě \({\displaystyle F(x)=0}\), přičemž řešením rovnice o \({\displaystyle n}\) neznámých jsou n-tice \({\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})}\).

Algebraické a nealgebraické rovnice


Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované polynomická rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice).

Jako algebraickou rovnici \({\displaystyle n}\)-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru

\({\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0}\),

kde levou stranu rovnice tvoří polynom \({\displaystyle n}\)-tého stupně s \({\displaystyle a_{n}\neq 0}\), přičemž se předpokládá, že \({\displaystyle n\geq 1}\). Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické.

Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy řešitelné analyticky, v algebře se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky.

Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice \({\displaystyle (n=1)}\), kvadratická rovnice \({\displaystyle (n=2)}\), kubická rovnice \({\displaystyle (n=3)}\) a kvartická rovnice \({\displaystyle (n=4)}\). Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice.

Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně \({\displaystyle n\geq 1}\) alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů.


Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

Homogenní rovnice

Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např. \({\displaystyle 3x^{2}y+3x^{3}+2y^{3}-5xy^{2}=0}\) je homogenní rovnice třetího stupně.

Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru \({\displaystyle f(x)=0}\), kde \({\displaystyle f(x)}\) je homogenní funkce.

Další druhy rovnic


Rovnice obsahující derivace označujeme jako diferenciální.

Rovnice obsahující integrály označujeme jako integrální.

Rovnice obsahující diference proměnných označujeme jako diferenční.

Související články


Externí odkazy


kalkulačka na počítání rovnic











Kategorie: Rovnice | Algebra




Poslední aktualizace: 03.10.2021 01:21:48 CEST

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-BY-SA-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.