Rovnoběžnostěn je čtyřboký hranol, jehož podstavou je rovnoběžník. Mezi rovnoběžnostěny patří např. kvádr, krychle nebo klenec.
Povrch rovnoběžnostěnu je tvořen součtem obsahů šesti rovnoběžníků, z nichž každé dva protilehlé jsou shodné. Užitím vzorce pro výpočet obsahu rovnoběžníku v trojrozměrném prostoru dostáváme
kde \({\displaystyle \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} }\) jsou tři různoběžné stranové vektory, "\({\displaystyle \times }\)" značí vektorový součin dvou vektorů a "\({\displaystyle \,\cdot \,}\)" značí skalární součin dvou vektorů.
Zobecněním vektorového součinu do \({\displaystyle n}\)-rozměrného prostoru (jedná se o součin \({\displaystyle (n-1)}\) lineárně nezávislých vektorů délky \({\displaystyle n}\), jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat \({\displaystyle (n-1)}\)-rozměrný nadpovrch libovolného \({\displaystyle n}\)-rozměrného nadrovnoběžnostěnu.
Objem rovnoběžnostěnu je roven absolutní hodnotě smíšeného součinu (tří různoběžných) stranových vektorů
Pokud jsou vrcholy \({\displaystyle A,B,C,D,E,F,G,H}\) rovnoběžnostěnu zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. \({\displaystyle A=(x_{A},y_{A},z_{A})}\), \({\displaystyle B=(x_{B},y_{B},z_{B})}\) atd., lze objem rovnoběžnostěnu vyjádřit po složkách. Je roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných čtyř vrcholů neležících v jedné rovině takto
Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol \({\displaystyle A}\) s počátkem souřadného systému, tj. \({\displaystyle A=(0,0,0)}\), pak tedy
Zcela analogicky lze spočítat obsah libovolného rovnoběžníku, resp. nadobjem libovoného \({\displaystyle n}\)-rozměrného nadrovnoběžnostěnu.
Kategorie: Mnohostěny
. Nevkládejte však bez oprávnění cizí texty.