Rovnoběžnostěn


Rovnoběžnostěn je čtyřboký hranol, jehož podstavou je rovnoběžník. Mezi rovnoběžnostěny patří např. kvádr, krychle nebo klenec.

Obsah

Povrch


Povrch rovnoběžnostěnu je tvořen součtem obsahů šesti rovnoběžníků, z nichž každé dva protilehlé jsou shodné. Užitím vzorce pro výpočet obsahu rovnoběžníku v trojrozměrném prostoru dostáváme

\({\displaystyle P=2{\Bigg [}{\Big (}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ){\Big )}^{1/2}+{\Big (}(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ){\Big )}^{1/2}+{\Big (}(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} ){\Big )}^{1/2}{\Bigg ]}}\)

kde \({\displaystyle \mathbf {a} ,\,\mathbf {b} ,\,\mathbf {c} }\) jsou tři různoběžné stranové vektory, "\({\displaystyle \times }\)" značí vektorový součin dvou vektorů a "\({\displaystyle \,\cdot \,}\)" značí skalární součin dvou vektorů.

Zobecněním vektorového součinu do \({\displaystyle n}\)-rozměrného prostoru (jedná se o součin \({\displaystyle (n-1)}\) lineárně nezávislých vektorů délky \({\displaystyle n}\), jehož výsledkem je vektor kolmý na všechny předchozí, tvořící s nimi, v daném pořadí, pravotočivou bázi) lze zcela analogicky spočítat \({\displaystyle (n-1)}\)-rozměrný nadpovrch libovolného \({\displaystyle n}\)-rozměrného nadrovnoběžnostěnu.

Objem


Objem rovnoběžnostěnu je roven absolutní hodnotě smíšeného součinu (tří různoběžných) stranových vektorů

\({\displaystyle V=\left|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} \right|=\left|(\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {a} \right|=\left|(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} \right|.}\)

Pokud jsou vrcholy \({\displaystyle A,B,C,D,E,F,G,H}\) rovnoběžnostěnu zadány pomocí souřadnic v prostoru, tj. \({\displaystyle A=(x_{A},y_{A},z_{A})}\), \({\displaystyle B=(x_{B},y_{B},z_{B})}\) atd., lze objem rovnoběžnostěnu vyjádřit po složkách. Je roven absolutní hodnotě determinantu sestaveného ze souřadnic libovolných čtyř vrcholů neležících v jedné rovině takto

\({\displaystyle V=\left|\det \left({\begin{array}{ccc}x_{D}-x_{A}&x_{B}-x_{A}&x_{E}-x_{A}\\y_{D}-y_{A}&y_{B}-y_{A}&y_{E}-y_{A}\\z_{D}-z_{A}&z_{B}-z_{A}&z_{E}-z_{A}\end{array}}\right)\right|.}\)

Ztotožníme-li, pro jednoduchost, vrchol \({\displaystyle A}\) s počátkem souřadného systému, tj. \({\displaystyle A=(0,0,0)}\), pak tedy

\({\displaystyle V=|x_{D}y_{B}z_{E}+x_{B}y_{E}z_{D}+x_{E}y_{D}z_{B}-x_{D}y_{E}z_{B}-x_{B}y_{D}z_{E}-x_{E}y_{B}z_{D}|.}\)

Zcela analogicky lze spočítat obsah libovolného rovnoběžníku, resp. nadobjem libovoného \({\displaystyle n}\)-rozměrného nadrovnoběžnostěnu.

Související články


Externí odkazy











Kategorie: Mnohostěny




Poslední aktualizace: 03.10.2021 08:07:41 CEST

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-BY-SA-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.