Spojitá funkce - cs.LinkFang.org

Spojitá funkce


Tento článek je o spojitosti funkcí na reálných číslech. O obecnějším pojmu na topologických prostorech (jehož speciálním případem je i spojitost reálných funkcí) pojednává článek Spojité zobrazení.

Spojitá funkce je taková matematická funkce, jejíž hodnoty se mění plynule, tedy při dostatečně malé změně hodnoty x se hodnota f(x) změní libovolně málo. Intuitivní (ne zcela přesná) představa spojité funkce spočívá ve funkci, jejíž graf lze nakreslit jedním tahem, aniž by se tužka zvedla z papíru. Funkce, která není spojitá, se označuje jako nespojitá.

Spojitost je také jednou ze základních vlastností běžně požadovaných po „rozumných funkcích“, mnoho matematických konstrukcí vyžaduje spojitost funkce jako nutnou podmínku – např. derivace, primitivní funkce apod.

Pro reálné funkce reálné proměnné lze spojitost funkce f v hromadném bodě definičního oboru x0 definovat následujícími dvěma podmínkami:

Tato definice mluví o spojitosti v bodě; mimo to se také používá výraz funkce spojitá na množině či intervalu (pokud je funkce spojitá ve všech bodech této množiny), obecně o spojité funkci se hovoří v případě, že je spojitá na celém svém definičním oboru.

Obsah

Cauchyho definice


O funkci \({\displaystyle f(x)}\) řekneme, že je spojitá v bodě a, pokud ke každému (libovolně malému) číslu \({\displaystyle \varepsilon >0}\) existuje takové číslo \({\displaystyle \delta >0}\), že pro všechna x, pro něž platí \({\displaystyle |x-a|<\delta }\), platí také

\({\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }\).

Velikost čísla \({\displaystyle \delta }\) může záviset nejen na volbě čísla \({\displaystyle \varepsilon }\), ale i na volbě bodu a.

Funkci \({\displaystyle f(x)}\) označujeme jako spojitou zprava (resp. zleva), pokud k libovolnému \({\displaystyle \varepsilon >0}\) existuje takové \({\displaystyle \delta >0}\), že pro všechna \({\displaystyle x\in \langle a,a+\delta )}\) (resp. \({\displaystyle x\in (a-\delta ,a\rangle }\)), tzn. pro všechna x z pravého okolí (resp. levého okolí) bodu \({\displaystyle a}\), je \({\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }\). Funkce je spojitá tehdy, je-li spojitá zprava i zleva.

Cauchyho definici lze formulovat také pro funkci n proměnných. O funkci \({\displaystyle f(x_{i})}\), kde \({\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}\) jsou proměnné funkce, řekneme, že je spojitá v bodě \({\displaystyle A=[a_{1},a_{2},...,a_{n}]}\), pokud ke každému (libovolně malému) číslu \({\displaystyle \varepsilon >0}\) existuje takové číslo \({\displaystyle \delta >0}\), že pro všechny body \({\displaystyle X=[x_{1},x_{2},...,x_{n}]}\) z okolí bodu A, tzn. pro body jejichž vzdálenost splňuje podmínku \({\displaystyle d(A,X)<\delta }\), platí

\({\displaystyle |f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})-f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})|<\varepsilon }\).

Heineho definice


Nechť \({\displaystyle x_{0}}\) je hromadným bodem \({\displaystyle D(f)}\). Funkce \({\displaystyle f}\) je spojitá v bodě \({\displaystyle x_{0}}\) právě tehdy když \({\displaystyle \forall \lbrace x_{n}\rbrace ,x_{n}\in D(f),x_{n}\rightarrow x_{0}}\) platí \({\displaystyle f(x_{n})\rightarrow f(x_{0})}\).

Spojitost komplexní funkce


O komplexní funkci \({\displaystyle f(z)}\) říkáme, že je spojitá, jestliže v daném bodě \({\displaystyle z_{0}}\) komplexní roviny platí

\({\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=f(z_{0})}\).

Je-li funkce \({\displaystyle f(z)}\) spojitá v každém bodě určité oblasti \({\displaystyle \mathbf {G} }\), pak říkáme, že je spojitá v \({\displaystyle \mathbf {G} }\).

Bod nespojitosti


Body, v nichž daná funkce není spojitá, označujeme jako body nespojitosti, singularity.

Za bod nespojitosti prvního druhu označíme takový bod \({\displaystyle a}\), ve kterém má funkce \({\displaystyle f(x)}\) limitu zprava i zleva, avšak tyto dvě limity mají rozdílné hodnoty, tzn. \({\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)\neq \lim _{x\to a-}f(x)}\).[2] Rozdíl mezi těmito čísly, tzn. \({\displaystyle \lim _{x\to a+}f(x)-\lim _{x\to a-}f(x)}\), nazýváme skokem funkce v bodě \({\displaystyle a}\).[1]

Za bod nespojitosti druhého druhu označíme takový bod \({\displaystyle a}\), v němž neexistuje alespoň jedna z vlastních (konečných) jednostranných limit.[2]

Pokud v bodě \({\displaystyle a}\) existuje vlastní (konečná) limita \({\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=A}\), avšak funkce \({\displaystyle f(x)}\) není v bodě a definována, nebo je \({\displaystyle f(a)\neq A}\), pak bod \({\displaystyle a}\) označujeme jako odstranitelnou nespojitost funkce \({\displaystyle f(x)}\).[1]

Funkci, která je definována na intervalu \({\displaystyle \langle a,b\rangle }\), označíme jako po částech spojitou na daném intervalu, je-li spojitá ve všech bodech intervalu s výjimkou konečného počtu bodů, v nichž má nespojitost prvního druhu.

Na obrázku vpravo je bodem nespojitosti prvního druhu bod \({\displaystyle b}\). Bod \({\displaystyle e}\) je bodem nespojitosti druhého druhu. Bod \({\displaystyle c}\) je odstranitelnou nespojitostí funkce f(x). Funkce je po částech spojitá na intervalu \({\displaystyle \langle a,d\rangle }\).

Stejnoměrná spojitost


Mějme funkci \({\displaystyle f(x)}\) na intervalu \({\displaystyle \langle a,b\rangle }\), pro niž k libovolnému \({\displaystyle \varepsilon >0}\) existuje \({\displaystyle \delta >0}\) takové, že pro libovolné dva body \({\displaystyle x_{1},x_{2}}\) z intervalu \({\displaystyle \langle a,b\rangle }\) splňující \({\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta }\) platí \({\displaystyle |f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon }\). Pak říkáme, že funkce \({\displaystyle f(x)}\) je stejnoměrně spojitá na intervalu \({\displaystyle \langle a,b\rangle }\).

Weierstrassova věta

Weierstrassova věta říká, že libovolnou spojitou funkci na intervalu \({\displaystyle \langle a,b\rangle }\) lze (s libovolnou přesností) aproximovat stejnoměrně v \({\displaystyle \langle a,b\rangle }\) posloupností polynomů, tzn. k libovolnému \({\displaystyle \varepsilon >0}\) existuje polynom \({\displaystyle P(x)}\) takový, že \({\displaystyle |f(x)-P(x)|<\varepsilon }\) pro všechna \({\displaystyle x\in \langle a,b\rangle }\).

Absolutně spojitá funkce

Funkci \({\displaystyle f(x)}\) označíme jako absolutně spojitou na intervalu \({\displaystyle \langle a,b\rangle }\), jestliže k libovolnému \({\displaystyle \varepsilon >0}\) existuje takové \({\displaystyle \delta >0}\), že pro každý systém intervalů \({\displaystyle \langle a_{1},b_{1}\rangle ,\langle a_{2},b_{2}\rangle ,\ldots ,\langle a_{n},b_{n}\rangle ,}\) pro který je \({\displaystyle a\leq a_{1}\leq b_{1}\leq a_{2}\leq b_{2}\leq \cdots \leq a_{n}\leq b_{n}\leq b}\), a \({\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left(b_{i}-a_{i}\right)<\delta }\) platí \({\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left|f\left(b_{i}\right)-f\left(a_{i}\right)\right|<\varepsilon }\).

Je-li funkce \({\displaystyle f(x)}\) absolutně spojitá na intervalu \({\displaystyle \langle a,b\rangle }\), pak je na tomto intervalu spojitá a má na tomto intervalu konečnou variaci.

Příklady


Vlastnosti


Odkazy


Reference


  1. a b c Matematika polopatě [online]. Nová média, c2006-2014 [cit. 2015-12-06]. Kapitola Spojitost funkce . Dostupné online .
  2. a b c Math Tutor [online]. [cit. 2015-12-06]. Kapitola Spojitost reálných funkcí . Dostupné online .

Související články










Kategorie: Reálná analýza | Vlastnosti matematických funkcí




Poslední aktualizace: 20.02.2021 01:32:31 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-by-sa-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.