Maxwellův tenzor


(přesměrováno z Tenzor_elektromagnetického_pole)

V elektrodynamice se pojmem Maxwellův tenzor označuje tenzor napětí vyjadřující tok hybnosti elektromagnetického pole zvolenou plochou. V jednotkách SI je pro izotropní prostředí dán vztahem

\({\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {E} \otimes \mathbf {D} -\mathbf {H} \otimes \mathbf {B} ,}\)

kde δ značí jednotkový tenzor druhého řádu, resp. analogicky ve složkách jako

\({\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{2}}\delta _{ij}\left(E_{k}D_{k}+H_{k}B_{k}\right)-E_{i}D_{j}-H_{i}B_{j}.}\)

S pomocí Maxwellova tenzoru lze formulovat zákon zachování hybnosti pro elektromagnetické pole jako rovnici kontinuity

\({\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {g} }{\partial t}}+\mathrm {div} \,{\boldsymbol {\sigma }}=-\mathbf {f} ,}\)

kde \({\displaystyle \mathbf {f} }\) je hustota síly působící na daný objem a \({\displaystyle \mathbf {g} =\mathbf {D} \times \mathbf {B} }\) je hustota hybnosti elektromagnetického pole. Analogicky ve složkách

\({\displaystyle {\frac {\partial g_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}=-f_{i}.}\)

Tenzor elektromagnetického pole


V teorii relativity se používá obecnější tenzor, který se označuje jako tenzor elektromagnetického pole.


Použijeme-li čtyřpotenciál elektromagnetického pole ve tvaru

\({\displaystyle A_{\iota }=(\varphi ,-c\mathbf {A} )}\),

kde \({\displaystyle \varphi }\) je skalární potenciál elektrostatického pole a \({\displaystyle \mathbf {A} }\) je vektorový potenciál magnetického pole, pak z parciálních derivací čtyřpotenciálu podle prostoročasových souřadnic lze vytvořit antisymetrický tenzor druhého řádu

\({\displaystyle F_{\iota \kappa }={\frac {\partial A_{\kappa }}{\partial x^{\iota }}}-{\frac {\partial A_{\iota }}{\partial x^{\kappa }}}}\)

pro \({\displaystyle \iota ,\kappa =0,1,2,3}\). Tento tenzor se nazývá tenzorem elektromagnetického pole.


Složky tenzoru elektromagnetického pole je možné vyjádřit prostřednictvím složek elektrické intenzity \({\displaystyle \mathbf {E} }\) a magnetické intenzity \({\displaystyle \mathbf {H} }\)

\({\displaystyle F_{\iota \kappa }={\begin{pmatrix}0&-E_{1}&-E_{2}&-E_{3}\\E_{1}&0&H_{3}&-H_{2}\\E_{2}&-H_{3}&0&H_{1}\\E_{3}&H_{2}&-H_{1}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-E_{i}\\E_{k}&H_{ik}\end{pmatrix}}}\),

kde \({\displaystyle \iota ,\kappa =0,1,2,3}\) a \({\displaystyle i,k=1,2,3}\).

Pro složky kontravariantního tenzoru pak dostaneme

\({\displaystyle F^{\iota \kappa }={\begin{pmatrix}0&E^{1}&E^{2}&E^{3}\\-E^{1}&0&H^{3}&-H^{2}\\-E^{2}&-H^{3}&0&H^{1}\\-E^{3}&H^{2}&-H^{1}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&E^{i}\\-E^{k}&H^{ik}\end{pmatrix}}}\)

Související články











Kategorie: Elektromagnetismus




Poslední aktualizace: 20.02.2021 07:47:14 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-BY-SA-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.