Válec


Tento článek je o geometrickém objektu. Další významy jsou uvedeny na stránce Válec (rozcestník).

Válec je v prostorové geometrii těleso, vymezené dvěma rovnoběžnými podstavami a pláštěm. Plášť je rozvinutelná plocha, všechny povrchové (tvořící) přímky pláště jsou rovnoběžné a pokud jsou k podstavám kolmé, hovoříme o kolmém válci. V opačném případě se jedná o válec kosý. Vzdálenost mezi podstavami se nazývá výška válce. Vzdálenost mezi dvěma podstavami podél pláště (tj. podél povrchové přímky) se nazývá strana válce.

Je-li podstavou kruh, pak válec označíme jako kruhový. Kolmý kruhový válec nazýváme rotačním válcem. Přímku procházející středy obou podstav rotačního válce nazýváme osou rotace.

Obsah

Rotační válec


Nejčastěji se válcem rozumí rotační válec, kolmý válec, jehož podstavou je kruh. Má také řadu různých aplikací.

Vlastnosti

\({\displaystyle V=\pi r^{2}h\,\implies \,h=V/(\pi r^{2})}\)

kde \({\displaystyle r}\) je poloměr podstavy a \({\displaystyle h}\) je výška válce.

\({\displaystyle Q=2\pi rh\,}\), obsah podstavy je
\({\displaystyle P=\pi r^{2}\,}\)

Pro obsah celého povrchu rotačního válce pak platí

\({\displaystyle S=2\pi r(r+h)\,}\)

Válcová plocha a prostor


Jednoduchou představu rotačního válce lze rozšířit a zobecnit. Mějme jednoduchou uzavřenou křivku \({\displaystyle k}\), která leží v rovině. Body, které leží na vzájemně rovnoběžných přímkách procházejících libovolným bodem křivky \({\displaystyle k}\), tvoří válcovou plochu. Část prostoru ohraničená válcovou plochou se nazývá válcový prostor.

Rovnice

Válcová plocha (kvadratický válec) bývá označována podle řídící křivky.

Eliptický kvadratický válec

Eliptický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}\)

Řídící křivkou eliptického válce je elipsa ležící v rovině \({\displaystyle z=0}\) s rovnicí \({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}\) a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou \({\displaystyle z}\).

Pro \({\displaystyle a=b}\) se jedná o rotační válec s osou rotace \({\displaystyle z}\).

Hyperbolický kvadratický válec

Hyperbolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}\)

Řídící křivkou hyperbolického válce je hyperbola ležící v rovině \({\displaystyle z=0}\) s rovnicí \({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}\) a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou \({\displaystyle z}\).

Parabolický kvadratický válec

Parabolický kvadratický válec lze vyjádřit rovnicí

\({\displaystyle y^{2}=2px}\)

Řídící křivkou parabolického válce je parabola ležící v rovině \({\displaystyle z=0}\) s rovnicí \({\displaystyle y^{2}=2px}\) a tvořící přímky válce jsou rovnoběžné s osou \({\displaystyle z}\).

Obecný válec

Obecnou válcovou plochu, jejíž řídící křivka leží v rovině \({\displaystyle z=0}\) a má rovnici \({\displaystyle f(x,y)=0}\), a její tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou \({\displaystyle z}\), lze zapsat rovnicí

\({\displaystyle f(x,y)=0}\)

Obecně lze říci, že pokud v rovnici plochy chybí jedna z proměnných, pak se jedná o rovnici válcové plochy, jejíž tvořící přímky jsou rovnoběžné s osou, která odpovídá chybějící proměnné, a jejíž řídící křivka má stejnou rovnici jako daná plocha a leží v rovině kolmé k tvořícím přímkám.

Jsou-li tvořící přímky rovnoběžné s vektorem \({\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}\), pak lze rovnici válcové plochy převést na tvar

\({\displaystyle F(a_{3}x-a_{1}z,a_{3}y-a_{2}z)=0}\)

Vlastnosti


Objem válce určíme ze vztahu

\({\displaystyle V=Sh}\),

kde \({\displaystyle S}\) je obsah podstavy a \({\displaystyle h}\) je hloubka válce.

Obsah povrchu válce je dán vztahem

\({\displaystyle P=2S+Q}\),

kde \({\displaystyle S}\) je obsah podstavy a \({\displaystyle Q}\) je obsah pláště válce.

Odkazy


Literatura

Související články

Externí odkazy










Kategorie: Oblá tělesa




Poslední aktualizace: 03.10.2021 02:44:34 CEST

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    licence: CC-BY-SA-3.0

Změny: Všechny obrázky a většina návrhových prvků, které s nimi souvisejí, byly odstraněny. Některé ikony byly nahrazeny FontAwesome-Icons. Některé šablony byly odstraněny (např. „Článek potřebuje rozšíření“) nebo byly přiřazeny (např. „Poznámky“). Třídy CSS byly buď odstraněny, nebo harmonizovány Byly odstraněny konkrétní odkazy na Wikipedii, které nevedou k článku nebo kategorii (jako „Redlinks“, „links to edit page“, „links to portals“). Každý externí odkaz má další obrázek. Kromě několika drobných změn designu byly odstraněny mediální kontejnery, mapy, navigační krabice, mluvené verze a geomikroformáty.

Upozornění Protože daný obsah je v daném okamžiku automaticky převzat z Wikipedie, ruční ověření bylo a není možné. LinkFang.org proto nezaručuje přesnost a aktuálnost získaného obsahu. Pokud existují informace, které jsou v tuto chvíli chybné nebo mají nepřesné zobrazení, neváhejte a kontaktujte nás: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.